Onde
introduzione alle onde longitudinali
Onde trasversali e longitudinali
Onde trasversali
Onde longitudinali
Cenni di Proprietà elastiche dei materiali
Modulo di Young \( (E) \)
Deformazione longitudinale
\[ \frac{F}{S} = E \frac{\Delta l}{l} \]
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\[ \begin{cases} F = k \, \Delta x \\ F = \left( \frac{E \, S}{l} \right) \Delta l \end{cases} \]
Modulo di Taglio \( (G) \)
Deformazione di taglio
\[ \frac{F}{S} = G \frac{\Delta x}{l} \]
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\[ \begin{cases} F = k \, \Delta x \\ F = \left( \frac{G \, S}{l} \right) \Delta x \end{cases} \]
Modulo di Compressibilità \( (B) \)
Deformazione di volume
\[ \Delta P = - B \frac{\Delta V}{V} \]
Modulo di Compressibilità
Gas ideale a temperatura costante
\[ \begin{cases} P V = n R T \\ (P + \Delta P) (V + \Delta V) = n R T \end{cases} \]
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\( P V = (P + \Delta P) (V + \Delta V) \)
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\( \frac{\Delta P}{P} = -\frac{\Delta V}{V}; \; \Delta P = - B \frac{\Delta V}{V} \)
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\( \boxed{B = P} \)
Velocità di un'onda
Corda tesa
\[ \sqrt{\frac{T}{\mu}} \]
Barra metallica
\[ \sqrt{\frac{E}{\rho}} \]
Gas
\[ \sqrt{\frac{B}{\rho}} = \sqrt{\frac{P}{\rho}} \]
Pipistrelli, densità dell'aria e velocità del suono
\[ v_{aria} = \sqrt{\frac{P_{atm}}{\rho_{aria}}} \approx 300 \, m/s \]
\[ v_{elio} = \sqrt{\frac{P_{atm}}{\rho_{elio}}} \approx 800 \, m/s \]
Effetti della densità del mezzo
Elio
\[ f_{elio} = \frac{v_{elio}}{\lambda} \]
Esafluoruro di zolfo
\[ f_{SF_{6}} = \frac{v_{SF_{6}}}{\lambda} \]
Onde longitudinali sinusoidali
\[ s(x,t) = s_{m} cos(k x - \omega t) \]
\[ \Delta P(x,t) = \Delta P_{m} sin(k x - \omega t) \]
Interferenza tra onde sinusoidali
\( s_{1}(x,t) = s_{m} cos(kx - \omega t) \)
\( s_{2}(x,t) = s_{m} cos(kx - \omega t + \phi) \)
\[ \boxed{y(x,y) = s_{1}(x,t) + s_{2}(x,t) = 2 s_{m} cos \left( \frac{\phi}{2} \right) cos \left( kx - \omega t + \frac{\phi}{2} \right)} \]
Intensità di un'onda
\[ I = \frac{P}{S} \; [W/m^2] \]
\[ I = \frac{1}{2} \, \rho \, v_{onda} \, \omega^{2} \, s_{m}^{2} \]
\[ \beta = 10 \cdot log \left( \frac{I}{I_{0}} \right); \; I_{0} = 10^{-12} W/m^{2} \]
Interferenza, onde stazionarie e risonanze
\( s_{1}(x,t) = s_{m} cos(kx - \omega t) \)
\( s_{2}(x,t) = s_{m} cos(kx + \omega t) \)
\( s(x,t) = s_{1}(x,t) + s_{2}(x,t) \)
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\[ \boxed{s(x,t) = [ 2 s_{m} cos(kx) ] cos( \omega t)} \]
\[ \boxed{\begin{cases} \lambda = \frac{2L}{n}; \; n=1,2,3... \; due \, aperture \\ \lambda = \frac{4L}{n}; \; n=1,3,5... \; un'apertura \end{cases}} \]
Battimenti
\( s_{1}(t) = s_{m} cos(\omega_{1} t) \)
\( s_{2}(t) = s_{m} cos(\omega_{2} t) \)
\( s(t) = s_{1}(t) + s_{2}( t) \)
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\[ \boxed{\begin{cases} s(t) = [2 s_{m} cos(\omega_{a} t)] cos(\omega_{b} t) \\ \omega_{a} = \frac{1}{2}(\omega_{1}-\omega_{2}) \\ \omega_{b} = \frac{1}{2}(\omega_{1}+\omega_{2}) \end{cases}} \]